Notasi Faktorial dan Prinsip Dasar
Notasi Faktorial n ! = n(n - 1) (n -2) ..................3.2. 1.
Definisi 0! = 1
PRINSIP DASAR (ATURAN PERKALIAN)
Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam n1 cara yang berlainan dan kejadian yang lain dapat terjadi dalam n2 cara yang berlainan maka kejadian-kejadian tersebut bersama-lama dapat terjadi n1.n2 cara yang berlainan.
Contoh:
Berapakah banyak bilangan-bilangan bulat positif yang ganjil terdiri atas 3 angka yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 5, 6 dan 7.
Jawab:
Sediakan 3 kotak, masing-masing untuk ratusan, puluhan dan satuan.
Tiap angka dapat diambil sebagai ratusan. Cara itu menghasilkan 5 kemungkinan.
Karena tidak diharuskan ketiga angka berlainan, maka tiap angka dapat diambil sebagai puluhan. Ada 5 kemungkinan lagi. Satuan hanya dapat dipilih dari 3, 5, 7 sebab harus bilangan ganjil . Ada 3 kemungkinan.
Maka banyak bilangan ada 5 . 5 . 3 = 75 bilangan.
Permutasi
Misalkan ada 3 unsur a, b, c. Kita dapat mengurutkan sebagai abc, acb, bac, bca, cab, cba. Tiap urutan disebut permutasi 3 unsur.
Dalam contoh di alas: ada 6 permutasi terdiri 3 unsur diambil ketiga-tiganya. Ditulis 3P3 = 6
Secara Umum
Banyak permutasi k unsur dari n unsur adalah :
nPk = n! / (n-k) !
Contoh:
Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
Jawab:
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara
Permutasi Siklis
Dari n obyek dapat disusun melingkar dalam (n-1) ! cara dengan urutan berlainan.
Contoh:
Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?
Jawab:
Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.
Kombinasi k unsur dari n unsur
adalah pemilihan k unsur dari n unsur itu tanpa memperhatikun urutannya.
nCk = n! / k!(n-k)!
Ada 6 kombinasi 2 unsur dari 4 unsur a, b, c, d yaitu ab, ac, ad, bc, bd, cd.
Contoh:
Dalam sebuah kantong terdapat 6 bola merah dan 5 putih.
Tentukan banyak cara untuk mengambil 4 bola dari kantong tersebut sehingga
a. Keempat bola tersebut terdiri dari 2 merah dan 2 putih.
b. Keempat bola tersebut warnanya lama.
Jawab:
Untuk mengambil 2 dari 6 bola merah ada 6C2 cara, untuk mengambil 2 dari 5 bola putih ada 5C2 cara.
Banyak cara untuk mengambil 4 bola terdiri 2 merah 2 putih adalah: 6C2 . 5C2 ® = 150 cara.
4 bola warna lama, jadi semua merah atau semua putih.
Untuk mengambil 4 dari 6 bola merah ada 6C4 cara. Untuk mengambil 4 dari 5 bola putih ada 5C6 cara. Banyak cara mengambi 14 bola yang warnanya lama: 6C4 + 5C4 =15 + 5 = 20 cara.
Binonium Newton
Binonium Newton adalah uraian binonium (suku dua) dengan rumus :
(x+y)n = nC0Xn + nC1Xn-1y + ....... + nCnyn
Rumus ini dapat dibuktikan dengan induksi lengkap.
nCo = 1
nC1 = n!/1!(n-1)! = n
nC2 = n! / 2!(n-2)! = n(n-1)/1.2
nCn-1 = nC1 = n/1 = n
nCn = 1
Catatan:
banyaknya suku ruas kanan adalah n + 1
rumus tersebut dapat juga ditulis sebgai berikut :
n n
(x+y)n = å nCk xn-k yk = å (n! / k! (n-k)!) xn-k yk
k=0 k=0
Jika n kecil, koefisien binonium dapat dicari dengan segitiga pascal.
Notasi Faktorial n ! = n(n - 1) (n -2) ..................3.2. 1.
Definisi 0! = 1
PRINSIP DASAR (ATURAN PERKALIAN)
Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam n1 cara yang berlainan dan kejadian yang lain dapat terjadi dalam n2 cara yang berlainan maka kejadian-kejadian tersebut bersama-lama dapat terjadi n1.n2 cara yang berlainan.
Contoh:
Berapakah banyak bilangan-bilangan bulat positif yang ganjil terdiri atas 3 angka yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 5, 6 dan 7.
Jawab:
Sediakan 3 kotak, masing-masing untuk ratusan, puluhan dan satuan.
ratusan
|
puluhan
|
satuan
|
Tiap angka dapat diambil sebagai ratusan. Cara itu menghasilkan 5 kemungkinan.
Karena tidak diharuskan ketiga angka berlainan, maka tiap angka dapat diambil sebagai puluhan. Ada 5 kemungkinan lagi. Satuan hanya dapat dipilih dari 3, 5, 7 sebab harus bilangan ganjil . Ada 3 kemungkinan.
Maka banyak bilangan ada 5 . 5 . 3 = 75 bilangan.
Permutasi
Misalkan ada 3 unsur a, b, c. Kita dapat mengurutkan sebagai abc, acb, bac, bca, cab, cba. Tiap urutan disebut permutasi 3 unsur.
Dalam contoh di alas: ada 6 permutasi terdiri 3 unsur diambil ketiga-tiganya. Ditulis 3P3 = 6
Secara Umum
Banyak permutasi k unsur dari n unsur adalah :
nPk = n! / (n-k) !
Contoh:
Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
Jawab:
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara
Permutasi Siklis
Dari n obyek dapat disusun melingkar dalam (n-1) ! cara dengan urutan berlainan.
Contoh:
Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?
Jawab:
Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.
Kombinasi k unsur dari n unsur
adalah pemilihan k unsur dari n unsur itu tanpa memperhatikun urutannya.
nCk = n! / k!(n-k)!
Ada 6 kombinasi 2 unsur dari 4 unsur a, b, c, d yaitu ab, ac, ad, bc, bd, cd.
Contoh:
Dalam sebuah kantong terdapat 6 bola merah dan 5 putih.
Tentukan banyak cara untuk mengambil 4 bola dari kantong tersebut sehingga
a. Keempat bola tersebut terdiri dari 2 merah dan 2 putih.
b. Keempat bola tersebut warnanya lama.
Jawab:
Untuk mengambil 2 dari 6 bola merah ada 6C2 cara, untuk mengambil 2 dari 5 bola putih ada 5C2 cara.
Banyak cara untuk mengambil 4 bola terdiri 2 merah 2 putih adalah: 6C2 . 5C2 ® = 150 cara.
4 bola warna lama, jadi semua merah atau semua putih.
Untuk mengambil 4 dari 6 bola merah ada 6C4 cara. Untuk mengambil 4 dari 5 bola putih ada 5C6 cara. Banyak cara mengambi 14 bola yang warnanya lama: 6C4 + 5C4 =15 + 5 = 20 cara.
Binonium Newton
Binonium Newton adalah uraian binonium (suku dua) dengan rumus :
(x+y)n = nC0Xn + nC1Xn-1y + ....... + nCnyn
Rumus ini dapat dibuktikan dengan induksi lengkap.
nCo = 1
nC1 = n!/1!(n-1)! = n
nC2 = n! / 2!(n-2)! = n(n-1)/1.2
nCn-1 = nC1 = n/1 = n
nCn = 1
Catatan:
banyaknya suku ruas kanan adalah n + 1
rumus tersebut dapat juga ditulis sebgai berikut :
n n
(x+y)n = å nCk xn-k yk = å (n! / k! (n-k)!) xn-k yk
k=0 k=0
Jika n kecil, koefisien binonium dapat dicari dengan segitiga pascal.
NOTASI FAKTORIAL DAN PRINSIP DASAR
4/
5
Oleh
LEARN and SHARE TOGETHER
